Mengapa 0,999... Sama dengan 1?
Banyak orang terkejut saat mengetahui bahwa 0,999... (desimal berulang tanpa akhir) sebenarnya sama dengan 1, bukan hanya mendekati 1. Ini adalah konsep matematika yang telah dibuktikan dengan berbagai cara. Artikel ini akan menjelaskan beberapa pembuktiannya secara sederhana.
1. Pembuktian dengan Aljabar
Cara paling umum untuk membuktikan bahwa 0,999... = 1 adalah dengan menggunakan aljabar dasar:
- Misalkan x = 0,999...
- Kalikan kedua sisi dengan 10:
10x = 9,999...
10x - x = 9,999... - 0,999...
9x = 9 ] 4. Bagi kedua sisi dengan 9:
x = 1
2. Pembuktian dengan Pecahan
Mari kita lihat cara lain menggunakan pecahan sederhana:
- Kita tahu bahwa 1/3 = 0,333...
- Jika kita kalikan 3 pada kedua sisi:
3 \times \frac{1}{3} = 3 \times 0,333...
1 = 0,999... ]
3. Pembuktian dengan Limit
Dalam konsep kalkulus, 0,999... dapat dianggap sebagai deret tak hingga:
S = 0,9 + 0,09 + 0,009 + 0,0009 + ...
Deret ini adalah deret geometri dengan suku pertama a = 0,9 dan rasio r = 0,1.
Jumlah dari deret geometri tak hingga diberikan oleh rumus:
S = \frac{a}{1 - r}
Substitusi nilai a dan r:
S = \frac{0,9}{1 - 0,1} = \frac{0,9}{0,9} = 1
Jadi, 0,999... = 1.
4. Logika Matematika
Jika kita menganggap 0,999... hanya mendekati 1 tetapi tidak sama dengan 1, maka harus ada bilangan nyata antara 0,999... dan 1.
Namun, tidak ada bilangan real yang berada di antara keduanya. Oleh karena itu, satu-satunya kesimpulan logis adalah bahwa 0,999... = 1.
Kesimpulan
Meskipun terlihat aneh, 0,999... benar-benar sama dengan 1 secara matematis. Ini menunjukkan bagaimana sistem bilangan real bekerja dan bagaimana konsep ketidakterhinggaan dalam desimal dapat memiliki hasil yang mengejutkan.